On a class of random perturbations of the hierarchical Laplacian

Abstract

Пусть $(X,d)$ - локально компактное сепарабельное ультраметрическое пространство. Каждой мере $m$ на $X$ и каждой функции $C(B)$, определенной на множестве всех неодноточечных шаров $B$ пространства $X$, соответствует иерархический лапласиан $L=L_{C}$. Оператор $L$ действует на $L^{2}(X,m)$, существенно самосопряжен и имеет чисто точечный спектр. Выбор семейства $\{\varepsilon (B)\}$ независимых одинаково распределенных случайных величин определяет возмущенную функцию $C(B,\omega)$ и возмущенный иерархический лапласиан $L^{\omega }=L_{C(\omega)}$. Изучаются арифметические средние $\bar{\lambda }(\omega)$ собственных значений оператора $L^{\omega }$. При некоторых слабых предположениях показано, что нормированные арифметические средние $( \bar{\lambda }-\mathbb{E}\bar{\lambda })/\sigma [\bar{\lambda }] $ сходятся к $N(0,1)$ по распределению. Приведены также примеры, когда сходимости к нормальному распределению нет. Доказано существование интегральной плотности состояний. Вводится эмпирический точечный процесс $N^{\omega }$ для собственных значений оператора $L^{\omega }$, и в предположении, что плотность состояний существует и непрерывна, доказывается, что конечномерные распределения процесса $N^{\omega }$ сходятся к конечномерным распределениям пуассоновского точечного процесса. В качестве примера рассмотрены случайные возмущения оператора Владимирова, действующего на $L^{2}(X,m)$, где $X=\mathbb{Q}_{p}$ - кольцо $p$-адических чисел, а $m$ - мера Хаара. Библиография: 34 наименования.