Odd cutsets and the hard-core model on $\mathbb{Z}^{d}$

Abstract

Nous étudions la structure de phase, en grande dimension, d’un modèle de sphères dures sur le réseau $\mathbb{Z}^{d}$. Nous prouvons que le modèle présente plusieurs mesures lorsque le paramètre de densité dépasse $Cd^{-1/3}(\log d)^{2}$, améliorant ainsi la borne de $Cd^{-1/4}(\log d)^{3/4}$ obtenue par Galvin et Kahn. Notre approche repose sur l’étude de certaines classes d’ensembles séparateurs dans $\mathbb{Z}^{d}$, constituées d’ensembles impaires, qui délimitent la frontière entre différentes phases du modèle de sphères dures. Nous faisons une analyse combinatoire précise de la structure de ces ensembles séparateurs et obtenons une forme quantitative de la concentration des différentes formes possibles prises par ces ensembles lorsque la dimension $d$ tend vers l’infini. Cette analyse repose sur des méthodes obtenues auparavant par le premier auteur, tout en les améliorant.