O-minimality and certain atypical intersections

Abstract

We show that the strategy of point counting in o-minimal structures can be applied to various problems on unlikely intersections that go beyond the conjectures of Manin-Mumford and Andre-Oort. We verify the so-called Zilber-Pink Conjecture in a product of modular curves on assuming a lower bound for Galois orbits and a su ciently strong modular Ax-Schanuel Conjecture. In the context of abelian varieties we obtain the Zilber-Pink Conjecture for curves unconditionally when everything is defined over a number field. For higher dimensional subvarieties of abelian varieties we obtain some weaker results and some conditional results. On demontre que la strategie de comptage dans des structures o-minimales est su sante pour traiter plusieurs problemes qui vont au-dela des conjectures de Manin-Mumford et Andre-Oort. On verifie la conjecture de Zilber-Pink pour un produit de courbes modulaires en supposant une minoration assez forte pour la taille de lorbite de Galois et en supposant une version modulaire du theoreme de Ax-Schanuel. Dans le cas des varietes abeliennes on demontre la conjecture de Zilber-Pink pour les courbes si tous les objets sont definis sur un corps de nombres. Pour les sous-varietes de dimension superieure on obtient quelques resultats plus faibles et quelques resultats conditionnels.