Abstract
This article examines the ontological structure of mathematical “objects”, focusing on the opposing views of books VI-VII of Plato’s Republic and books XIII-XIV of Aristotle’s Metaphysics . Plato understands Mathematics as a means or a path (method) of obtaining a philosophical education, and considers the “subject” of Mathematics as ὑποθέσeι , rather than οὐσίαι (separate entities). In agreement with Plato, Aristotle seeks to describe the ontological structure of mathematical “objects” not as οὐσίαι , but as quantity, quality or relation; which is to say, as the separable elemental properties ( στοιχηῖαι ) of entities. I will argue that while neither Plato nor Aristotle understood the objects of Mathematics as separated entities, Aristotle’s description is more effective by virtue of its consideration of an “object’s” separable elemental properties as the “subject” of mathematics.
Highlights
As questões fundamentais que norteiam este artigo são as seguintes: que implicações a visão platônica da posição intermediária da matemática tem para a compreensão ontológica de seus elementos? Não teria Aristóteles justamente aprofundado, e não se contraposto, à visão platônica expressa no esquema da linha dividida quando ele estabelece a estrutura ontológica de seus componentes como elementos separáveis e não como entidades separadas? A consideração dos entes matemáticos como “objetos”, leva, em geral, à postulação de sua existência separada dos entes sensíveis? Tal conceito não obstrui o caminho para uma mais lúcida compreensão dos entes matemáticos como intermediários? O “sim” a essas duas últimas perguntas implica que respondamos a esta: o que temos que entender quando falamos de entes matemáticos como intermediários, na perspectiva de Platão e Aristóteles?
Gilfranco Lucena dos Santos, ‘O caráter in‐ termediário da mate‐ mática e a estrutura ontológica de seus elementos segundo Platão e Aristóteles’, p. 129‐166 que a elas se refere? E como Aristóteles compreende o aspecto intermediário da orientação do pensamento para as hipóteses com as quais trabalham os matemáticos, e como se propõe a pensar seu modo de ser e os princípios que as determinam dialeticamente?
Dois tipos de interpretação devem ser afastadas em função de uma maior clareza: 1) o caráter de μεταξύ dos supostos matemáticos na Aritmética e na Geometria não significam já em Platão a subsistência de “objetos” matemáticos, “subsistentes” ao lado dos sensíveis e das εἴδη; 2) Aristóteles também não tem em vista os elementos matemáticos pensados por seus interlocutores como “objetos” que estariam entre os aspectos inteligíveis e os sensíveis
Summary
As questões fundamentais que norteiam este artigo são as seguintes: que implicações a visão platônica da posição intermediária da matemática tem para a compreensão ontológica de seus elementos? Não teria Aristóteles justamente aprofundado, e não se contraposto, à visão platônica expressa no esquema da linha dividida quando ele estabelece a estrutura ontológica de seus componentes como elementos separáveis e não como entidades separadas? A consideração dos entes matemáticos como “objetos”, leva, em geral, à postulação de sua existência separada dos entes sensíveis? Tal conceito não obstrui o caminho para uma mais lúcida compreensão dos entes matemáticos como intermediários? O “sim” a essas duas últimas perguntas implica que respondamos a esta: o que temos que entender quando falamos de entes matemáticos como intermediários, na perspectiva de Platão e Aristóteles?. Mas o esquema da linha dividida não precisa ser já interpretado nessa direção, tal como têm feito alguns comentadores, e mesmo o platonismo matemático contemporâneo, que procura justificar esse nome em função de sua crença na existência de entidades matemáticas como objetos do conhecimento (cf Maddy, 1989). E esta consideração se tornou clara em função do exposto no esquema da linha dividida e sua explicação, uma vez que os supostos com os quais lidam a Aritmética e a Geometria e a atitude própria dos que lidam com esses supostos são ditas por Platão como sendo μεταξύ. Brentlinger pretende se colocar ao lado do que considera a posição mais comum, excetuando Cherniss, segundo a qual existe de fato, já em Platão, uma teoria dos intermediários, tal como aponta Aristóteles, mas intenciona resolver o impasse em torno dessas interpretações. Gilfranco Lucena dos Santos, ‘O caráter in‐ termediário da mate‐ mática e a estrutura ontológica de seus elementos segundo Platão e Aristóteles’, p. 129‐166 que a elas se refere? E como Aristóteles compreende o aspecto intermediário da orientação do pensamento para as hipóteses com as quais trabalham os matemáticos, e como se propõe a pensar seu modo de ser e os princípios que as determinam dialeticamente?
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