Number systems in modular rings and their applications to "error-free" computations

V.M Chernov

doi:10.18287/2412-6179-2019-43-5-901-911

Abstract

The article introduces and explores new systems of parallel machine arithmetic associated with the representation of data in the redundant number system with the basis, the formative sequences of degrees of roots of the characteristic polynomial of the second order recurrence. Such number systems are modular reductions of generalizations of Bergman's number system with the base equal to the "Golden ratio". The associated Residue Number Systems is described. In particular, a new "error-free" algorithm for calculating discrete cyclic convolution is proposed as an application to the problems of digital signal processing. The algorithm is based on the application of a new class of discrete orthogonal transformations, for which there are effective “multipication-free” implementations.

Highlights

V.M. fast algorithms of discrete orthogonal transforms realized in the number system with an irrational base / V.M
The article introduces and explores new systems of parallel machine arithmetic associated with the representation of data in the redundant number system with the basis, the formative sequences of degrees of roots of the characteristic polynomial of the second order recurrence
A new "error-free" algorithm for calculating discrete cyclic convolution is proposed as an application to the problems of digital signal processing

Summary

Основные идеи

K 0,1,..., N 1 является одной из наиболее типичных задач цифровой обработки сигналов. Но для некоторых простых p арифметика конечного поля GF(p) может быть более «дружественной компьютеру» (например, если p = 2q – 1 – простое число Мерсенна). Если 2 (mod p), то умножения в (8) могут быть заменены циклическими сдвигами векторов цифр в представлении элементов соответствующего конечного поля в двоичной системе счисления. В частности, использование таких преобразований для данных, представленных в этой альтернативной системе счисления, позволило существенно уменьшить мультипликативную сложность алгоритмов вычисления свёртки. Предлагается версия алгоритмов, свободных от недостатков, связанных, в частности, с «нефибоначчиевостью» произведений чисел Фибоначчи или Люка, как в [7], которая достаточно эффективна для систем счисления, порождаемых более общими рекуррентными последовательностями. Обсуждаемых ниже, вычисление свёртки может быть произведено по обычной параллельной схеме с применением семейства дискретных преобразований (аналогов ТЧП) в фактор-кольцах, т.е. В данной работе рассматривается случай числа (модуля) M, являющегося произведением двух целых квадратичных чисел, причем их произведение может быть как простым целым рациональным (т.е. «обычным» целым) числом, так и составным целым рациональным числом при выполнении некоторых условий

Обобщенные бинарные и тернарные Phi- системы счисления

Синтез специальных модулей для параллельных теоретико-числовых преобразований

Параллельное ТЧП в редуцированных кольцах

Алгоритм безошибочного вычисления циклической свёртки

Некоторые численные результаты