Note on a theorem of Davenport

Ke Gong

doi:10.22405/2226-8383-2021-22-2-484-489

Abstract

Let Λ be a 𝑛-dimensional lattice, and 𝑐1, . . . , 𝑐𝑛−1 be any 𝑛 − 1 vectors in 𝑛-dimensional real Euclidean space. We show that there exists a basis 𝛼1, . . . ,𝛼𝑛 of Λ such that $$|𝛼𝑖 − 𝑁𝑐𝑖| = 𝑂(log^2 𝑁), (1 2, where the constant implied by the 𝑂 symbol depends only on Λ and 𝑐1, . . . , 𝑐𝑛−1.

Highlights

We denote by x, α, c the n-dimensional real vectors, and by |x| = |(x1, xn)| (︂ n ∑︁ )︂ x2i1 2 i=1 the length of x
We show that there exists a basis α1, . . . , αn of Λ such that
If we replace the above error term with O(N ε), where ε is any given positive number and the constant implied by the O symbol may depend on ε, Λ and c1, . . . , cn−1, this is the original result of H

Summary

Ке Гонг

Аннотация Пусть Λ-n-мерная решетка, а c1, . . . , cn−1 - любые n − 1 векторов в n-мерном вещественном евклидовом пространстве. Аннотация Пусть Λ-n-мерная решетка, а c1, . Cn−1 - любые n − 1 векторов в n-мерном вещественном евклидовом пространстве. В работе доказано существование базиса α1, . Имеет место для любого вещественного N 2, где константа в знаке O зависит лишь от Λ и c1, . Ключевые слова: Решетка, базис, аппроксимация, комбинаторное решето. Замечание к теореме Давенпорта // Чебышевcкий сборник, 2021, т.

Introduction

Suppose there exist A and B such that

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ