Nonlinear parabolic Cauchy–Dirichlet problems with lower order term of natural growth in the gradient and irregular source/initial data

Abstract

This paper deals with parabolic Cauchy–Dirichlet problems with a nonlinear operator in divergence form of Leray–Lions type as a principal part, a nonlinear lower order term with natural p -growth in the gradient and irregular source/initial data. The model problem we refer to is the following ( P b ) u t − div a ( t , x , u , ∇ u ) = H ( t , x , u , ∇ u ) + μ in ( 0 , T ) × Ω , u ( t , x ) = 0 on ] 0 , T [ × ∂ Ω , u ( 0 , x ) = u 0 ( x ) in Ω , where Ω is a bounded open set in R N , T > 0 , the unknown function u ( t , x ) depends on x ∈ Ω and t ∈ ] 0 , T [ and the symbol ∇ u denotes the gradient of u with respect to x , the divergence form u ↦ − div ( a ( t , x , u , ∇ u ) ) is a nonlinear pseudo-monotone operator and the lower order term H ( t , x , u , ∇ u ) , which could be seen as perturbation of such operator, will be assumed to satisfy the so-called ” natural growth ” condition with respect to the gradient without ” any sign condition ”, the initial condition u 0 ∈ L 1 ( Ω ) and the right-hand side μ is a Radon measure (with bounded total variation) on Q . We give a review on results obtained for absorption problems (the lower order term has the same sign of the unknown function) and we prove an existence result under some sufficient and optimal reacting conditions on H (no sign condition is assumed) in order to have a distributional solution of problem ( P b ) . Problèmes paraboliques de type Cauchy–Dirichlet avec un terme d’ordre inférieur de croissance naturelle sur le gradient et des données source/initiale irrégulières. Ce papier traite des problèmes paraboliques de type Cauchy–Dirichlet avec un opérateur divergentiel non-linéaire de type Leray–Lions comme partie principale, un terme non-linéaire d’ordre inférieur avec une p -croissance naturelle sur le gradient et des données sourece/initiale irrégulières. Nous nous référons au problème modèle ( P b ) où Ω est un ouvert borné de R N , la fonction variable u ( t , x ) dépend de x ∈ Ω et de t ∈ ] 0 , T [ et le symbole ∇ u signifie le gradient de u par rapport à x , la forme divergentielle u ↦ − div ( a ( t , x , u , ∇ u ) ) est un opérateur pseudo-monotone et le terme d’ordre inférieur H ( t , x , u , ∇ u ) , considéré comme une perturbation de cet opérateur, est supposé satisfaire la condition connue par ” la croissance naturelle ” par rapport au gradient, la condition initiale u 0 ∈ L 1 ( Ω ) et le coté droit μ est une mesure de Radon (avec une variation totale) dans Q . Nous nous rappelons les résultas obtenus pour les problèmes d’absorption (le terme d’ordre inférieure a le même signe que la fonction variable) et nous montrons un résultat d’existence sous certaines conditions optimales et suffisantes de réaction sur H (sans supposer aucune condition de signe) afin d’obtenir une solution de distribution pour le problème ( P b ) .