New Hopf Structures on Binary Trees

Abstract

The multiplihedra $\mathcal{M}_{\bullet} = (\mathcal{M}_n)_{n \geq 1}$ form a family of polytopes originating in the study of higher categories and homotopy theory. While the multiplihedra may be unfamiliar to the algebraic combinatorics community, it is nestled between two families of polytopes that certainly are not: the permutahedra $\mathfrak{S}_{\bullet}$ and associahedra $\mathcal{Y}_{\bullet}$. The maps $\mathfrak{S}_{\bullet} \twoheadrightarrow \mathcal{M}_{\bullet} \twoheadrightarrow \mathcal{Y}_{\bullet}$ reveal several new Hopf structures on tree-like objects nestled between the Hopf algebras $\mathfrak{S}Sym$ and $\mathcal{Y}Sym$. We begin their study here, showing that $\mathcal{M}Sym$ is a module over $\mathfrak{S}Sym$ and a Hopf module over $\mathcal{Y}Sym$. An elegant description of the coinvariants for $\mathcal{M}Sym$ over $\mathcal{Y}Sym$ is uncovered via a change of basis-using Möbius inversion in posets built on the $1$-skeleta of $\mathcal{M}_{\bullet}$. Our analysis uses the notion of an $\textit{interval retract}$ that should be of independent interest in poset combinatorics. It also reveals new families of polytopes, and even a new factorization of a known projection from the associahedra to hypercubes. Les multiplièdres $\mathcal{M}_{\bullet} = (\mathcal{M}_n)_{n \geq 1}$ forment une famille de polytopes en provenant de l'étude des catégories supérieures et de la théorie de l'homotopie. Tandis que les multiplihèdres sont peu connus dans la communauté de la combinatoire algébrique, ils sont nichés entre deux familles des polytopes qui sont bien connus: les permutahèdres $\mathfrak{S}_{\bullet}$ et les associahèdres $\mathcal{Y}_{\bullet}$. Les morphismes $\mathfrak{S}_{\bullet} \twoheadrightarrow \mathcal{M}_{\bullet} \twoheadrightarrow \mathcal{Y}_{\bullet}$ dévoilent plusieurs nouvelles structures de Hopf sur les arbres binaires entre les algèbres de Hopf $\mathfrak{S}Sym$ et $\mathcal{Y}Sym$. Nous commençons son étude ici, en démontrant que $\mathcal{M}Sym$ est un module sur $\mathfrak{S}Sym$ et un module de Hopf sur $\mathcal{Y}Sym$. Une description élégante des coinvariants de $\mathcal{M}Sym$ sur $\mathcal{Y}Sym$ est trouvée par moyen d'une change de base―en utilisant une inversion de Möbius dans certains posets construits sur le $1$-squelette de $\mathcal{M}_{\bullet}$. Notre analyse utilise la notion d'$\textit{interval retract}$, qui devrait être intéressante par soi-même dans la théorie des ensembles partiellement ordonnés. Notre analyse donne lieu également à des nouvelles familles des polytopes, et même une nouvelle factorisation d'une projection connue des associahèdres aux hypercubes.