Abstract
The notion of the negative $q$-binomial was recently introduced by Fu, Reiner, Stanton and Thiem. Mirroring the negative $q$-binomial, we show the classical $q$ -Stirling numbers of the second kind can be expressed as a pair of statistics on a subset of restricted growth words. The resulting expressions are polynomials in $q$ and $(1+q)$. We extend this enumerative result via a decomposition of the Stirling poset, as well as a homological version of Stembridge’s $q=-1$ phenomenon. A parallel enumerative, poset theoretic and homological study for the $q$-Stirling numbers of the first kind is done beginning with de Médicis and Leroux’s rook placement formulation. Letting $t=1+q$ we give a bijective combinatorial argument à la Viennot showing the $(q; t)$-Stirling numbers of the first and second kind are orthogonal. La notion de la $q$-binomial négative était introduite par Fu, Reiner, Stanton et Thiem. Réfléchissant la $q$-binomial négative, nous démontrons que les classiques $q$-nombres de Stirling de deuxième espèce peuvent être exprimés comme une paire de statistiques sur un sous-ensemble des mots de croissance restreinte. Les expressions résultantes sont les polynômes en $q$ et $1+q$. Nous étendons ce résultat énumératif via une décomposition du poset de Stirling, ainsi que d’une version homologique du $q=-1$ phénomène de Stembridge. Un parallèle énumératif, poset théorique et étude homologique des $q$-nombres de Stirling de première espèce se fait en commençant par la formulation du placement des tours par suite des auteurs de Médicis et Leroux. On laisse $t=1+q$ et on donne les arguments combinatoires et bijectifs à la Viennot qui démontrent que les $(q;t)$-nombres de Stirling de première et deuxième espèces sont orthogonaux.
Highlights
The idea of q-analogues can be traced back to Euler in the 1700’s who was studying q-series, especially specializations of theta functions
The Gaussian polynomial is given by n k q
Netto enumerated the elements of the symmetric group by the inversion statistic in 1901 [17, Chapter 4, Sections 54, 57], and in 1916 MacMahon [14, Page 318] gave the q-factorial expansion π∈Sn qinv(π) = [n]q!
Summary
The idea of q-analogues can be traced back to Euler in the 1700’s who was studying q-series, especially specializations of theta functions. The negative q-binomial enjoys properties similar to that of the q-binomial: (i) it can be expressed as a generalized inversion number of a subset Ω(n, k) of 0-1 bit strings in S(0n−k, 1k):. An important consequence of (1.1) is the classical Gaussian polynomial can be expressed as sum over a subset of 0-1 bit strings in terms of powers of q and 1 + q using the same statistics: qa(ω) · (1 + q)p(ω). It is from this result that we springboard our work. In this paper we do exactly this for the q-Stirling numbers of the first and second kinds
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