Abstract
In this paper we consider the stochastic Ito differential equation in an infinite-dimensional real Hilbert space. Using the method of multiplicative representations of Daletsky - Trotter, its approximate solution is constructed.
 Under classical conditions on the coefficients, there is a single to the stochastic equivalence of solutions of the stochastic equation, which is a random process. This development generates an evolutionary family of resolving operators by the formula x(t)= S(t, Construct the division of the segment by the points. An equation with time-uniform coefficients is considered on each elementary segment . There is a single solution of this equation on the elementary segment, which generates the resolving operator by the formula The multiplicative expression is constructed. Using the method of Dalecki-Trotter multiplicative representations, it is proved that this multiplicative expression is stochastically equivalent to the representation generated by the solution of the original equation. This means that the specified multiplicative expression is respectively a representation of the solution of the original equation. That is, the probability of one coincides with the solution of the original stochastic equation. It should be noted that this is possible under additional conditions for the coefficients of the equation. These conditions are the time continuity of the coefficients of the equation. Thus, the constructed multiplicative representation can be interpreted as an approximate solution of the original equation. This method of multiplicative approximation makes it possible to simplify the study of the corresponding random process both at the elementary segment and as a whole.
 It is known, that the solution of a stochastic equation by a known formula generates a solution of the inverse Kolmogorov equation in the corresponding space. This scheme of multiplicative approximation can be transferred to the solution of the parabolic equation, which is the inverse Kolmogorov equation. Thus, the method of multiplicative approximation makes it possible to simplify the study of both stochastic equations and partial differential equations.
Highlights
Ці умови є неперервність за часом коефіцієнтів рівняння
Кeywords: stochastic equation; partial differential equation; conditional mean; approximate solution; stochastic equivalence; dimensionality; random process; evolutionary operator; Hilbert space; diffusion process; integral equation; initial value; Gronwall inequality; functional space; nonlinear coefficients
Summary
У даній роботі розглядається стохастичне диференціальне рівняння в нескінченновимірному дійсному гільбертовому просторі. За допомогою метода мультиплікативних представлень Далецького - Троттера будується його наближений розв’язок. При виконані класичних умов на коефіцієнти існує єдиний з точністю до стохастичної еквівалентності розв’язок стохастичного рівняння, який є випадковим процесом. За допомогою метода мультиплікативних представлень Далецького –Троттера будується інше мультиплікативне представлення, яке відповідає рівнянню з коефіцієнтами, однорідними за часом на деякому елементарному проміжку. Метод мультиплікативних представлень за відомою формулою перенесено на розв’язок відповідного параболічного рівняння, яким є обернене рівняння Колмогорова. Сформулювати умови на коефіцієнти дифузійного стохастичного рівняння, при яких побудоване мультиплікативне представлення буде збігатися з імовірністю одиниця до сильного розв’язку стохастичного диференціального рівняння в гільбертовому просторі, а також породжувати відповідні представлення розв’язку оберненого рівняння Колмогорова. У цій роботі отримано наближений розв’язок стохастичного диференціального рівняння дифузійного вигляду в нескінченновимірному гільбертовому просторі H за допомогою метода мультиплікативних представлень Далецького – Троттера. – деякі сталі, а ( ∑ ‖ ‖ , { } - ортонормований базис в В [ ] при виконанні стандартних умов було дове-дено існування єдиного з точністю до стохастичної еквівалентності розв’язку (1), який має властивості
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
