Moment approach for singular values distribution of a large auto-covariance matrix

Abstract

Soit $(\varepsilon_{t})_{t>0}$ une suite de vecteurs aléatoires indépendants de $\mathbb{R}^{p}$ et $X_{T}=\sum_{t=s+1}^{s+t}\varepsilon_{t}\varepsilon_{t-s}^{*}/T$ la matrice d’autocovariance empirique d’ordre $s$ de la suite ($s$ est un ordre fixé). Comme $X_{T}$ n’est pas symétrique, nous considérons ses valeurs singulières, c’est-à-dire les racines carrées des valeurs propres de la matrice aléatoire $X_{T}X_{T}^{*}$. En utilisant la méthode des moments, nous établissons les propriétés limites de ces valeurs singulières dans deux directions. D’abord, nous démontrons que leur distribution empirique converge vers une limite déterministe $F$, retrouvant ainsi un résultat établi dans (J. Multivariate Anal. 137 (2015) 119–140) par la méthode de la transformée de Stieltjes. Ensuite, nous montrons que la plus grande de ces valeurs singulières converge vers le point extrémal du support de $F$.