Minimization of Boolean functions in the class of orthogonal disjunctive normal forms

Yu V Pottosin

doi:10.37661/1816-0301-2021-18-2-33-47

Abstract

The orthogonal disjunctive normal forms (DNFs) of Boolean functions have wide applications in the logical design of discrete devices. The problem of DNF orthogonalization is to get for a given function such a DNF that any two its terms would be orthogonal, i. e. the conjunction of them would be equal identically to zero. An approach to solve the problem using the means of graph theory is suggested. The approach is proposed by representation of the function as perfect DNF. Obtaining all the intervals of the Boolean space where the given function has value 1 is supposed, and the intersection graph of those intervals is considered. Two methods to obtain a minimum orthogonal DNF are considered. One of them reduces the problem toward finding out the smallest dominating set in the graph by covering its vertices with their closed neighborhoods, the other - to obtain the maximum independent set by lexicographic enumeration. It is shown how the suggested approach can be extended on incompletely specified Boolean functions.

Highlights

The problem of disjunctive normal forms (DNFs) orthogonalization is to get for a given function such a DNF that any two its terms would be orthogonal, i. e. the conjunction of them would be equal identically to zero
The approach is proposed by representation of the function as perfect DNF
One of them reduces the problem toward finding out the smallest dominating set in the graph by covering its vertices with their closed neighborhoods, the other – to obtain the maximum independent set by lexicographic enumeration

Summary

Оригинальная статья Original Paper

Минимизация булевых функций в классе ортогональных дизъюнктивных нормальных форм. Аннотация. Ортогональные дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ) булевых функций имеют широкое применение в логическом проектировании дискретных устройств. Задача ортогонализации ДНФ состоит в том, чтобы для заданной функции получить ДНФ, любые две элементарные конъюнкции которой ортогональны, т. Предлагается подход к решению данной задачи с помощью средств теории графов. Подход рассчитан на представление функции в виде совершенной ДНФ. Предполагается получение всех интервалов булева пространства, на которых заданная функция имеет значение 1, и рассматривается граф пересечения этих интервалов. Показывается, как предлагаемый подход распространяется на не полностью определенные булевы функции. Ключевые слова: булева функция, дизъюнктивная нормальная форма, ортогональность элементарных конъюнкций, задача о кратчайшем покрытии, граф пересечения, доминирующее множество, независимое множество. В. Минимизация булевых функций в классе ортогональных дизъюнктивных нормальных форм / Ю.

Начальная ситуация

Список использованных источников