Minimax‐Optimal Strength of Statistical Evidence for a Composite Alternative Hypothesis

Abstract

RésuméLe rapport de vraisemblance mesure l'évidence statistique, par rapport ô une hypothèse nulle, d'une contre‐hypothèse simple. Il n'existe pas d'équivalent direct dans le contexte d'hypothèses composées. Nous montrons comment, en traitant le paramètre d'intérêt comme une grandeur aléatoire, il est cependant possible d'évaluer l'évidence statistique d'une hypothèse composée sans passer par la spécification ni l'estimation d'une loi ni d'un a priori particuliers. Le fait de traiter le paramètre comme un quantité aléatoire traduit ici sa variabilité plutôt qu'une incertitude le concernant, et la mesure idéale de l'évidence en faveur de la contre‐hypothèse est la différence entre les logarithmes des odds a posteriori et a priori. Cette mesure idéale peur être remplacée par toute mesure estimée, pourvu qu'elle soit asymptotiquement sans biais. Une telle méthode s'interprète aisément et, le cas échéant, peut être utilisée en combinaison avec un a priori, spécifié ou estimé, sur l'hypothèse nulle. Nous décrivons deux de ces mesures estimées présentant des propriétés d'optimalité de type minimax. Une application ô des données protéomiques indique que la modification d'une de ces mesures optimales portant sur les données relatives ô une protéine unique fournit une bonne approximation de la différence entre les logarithmes des odds a posteriori et a priori en provenance de 20 protéines différentes.