Mean-field interaction of Brownian occupation measures, I: Uniform tube property of the Coulomb functional

Abstract

Nous etudions la mesure de trajectoire transformee engendree par l’auto-interaction d’un mouvement Brownien tridimensionnel en utilisant un biais exponentiel par l’energie de Coulomb des mesures d’occupation de ce mouvement au temps $t$. Les asymptotes logarithmiques de la fonction de partition ont ete identifiees dans les annees 1980 par Donsker et Varadhan [Comm. Pure Appl. Math. 505 (1983) 505–528] au moyen d’une formule variationnelle. Recemment, dans (Brownian occupations measures, compactness and large deviations (2014) Preprint), une nouvelle technique pour etudier la mesure de chemins elle-meme a ete introduite. Elle permet de prouver que la mesure d’occupation normalisee se concentre asymptotiquement autour de l’ensemble des maximums de la formule. Dans le present article, nous prouvons que la fonctionnelle de Coulomb de la mesure d’occupation se concentre elle aussi, dans la topologie uniforme, autour de l’ensemble des fonctionnelles de Coulomb correspondant aux maximums. Ceci represente une etape decisive vers une preuve rigoureuse de la convergence des mesures d’occupation normalisees vers un melange explicite des maximums, derivee dans (Mean-field interaction of Brownian occupation measures, II: A rigorous construction of the Pekar process. Preprint). Nos methodes reposent sur l’obtention de la continuite holderienne de la fonctionnelle de Coulomb de la mesure d’occupation avec des probabilites de deviations exponentiellement petites, en invoquant la theorie des grandes deviations developpee dans (Brownian occupations measures, compactness and large deviations (2014) Preprint) pour une certaine fonctionnelle, invariante par dcalage, des mesures d’occupation.