Abstract
Nous étudions le maximum d’un champ Gaussien sur $[0,1]^{\mathtt{d}}$ ($\mathtt{d}\geq1$) dont les corrélations décroissent logarithmiquement avec la distance. Kahane (Ann. Sci. Math. Québec 9 (1985) 105–150) a introduit ce modèle pour construire mathématiquement le chaos Gaussien multiplicatif dans le cas sous-critique. Duplantier, Rhodes, Sheffield et Vargas (Critical Gaussian multiplicative chaos: Convergence of the derivative martingale (2012) Preprint, Renormalization of critical Gaussian multiplicative chaos and KPZ formula (2012) Preprint) ont étendu cette construction au cas critique et ont établi la formule KPZ. De plus, dans (Critical Gaussian multiplicative chaos: Convergence of the derivative martingale (2012) Preprint), ils fournissent plusieurs conjectures sur le cas sur-critique ainsi que sur le maximum de ce champ Gaussien. Dans ce papier nous établissons la convergence en loi du maximum et montrons que loi limite est une variable aléatoire de Gumbel convoluée avec la limite de la martingale dérivée, résolvant ainsi la Conjecture 12 de (Critical Gaussian multiplicative chaos: Convergence of the derivative martingale (2012) Preprint).
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