Mathematical morphology on l-images

Abstract

In most applications, morphological operations are considered as unary operations, each associated with a structuring element. Due to the problem of grey-level overflow, the associated structuring elements of morphological operations on grey-level images (functions from R n or Z n to [0, m ], where m is a fixed positive number) are limited to ‘flat’ or ‘non-flat’ structuring elements. However, neither flat nor non-flat structuring elements are grey-level images. In this paper, we propose the notion of l -images, based on a clc-monoid (complete lattice-ordered commutative monoid), as a unified representation of binary images (functions from R n or Z n to {0, 1}, signals (functions from R n or Z n to the set of extended real numbers R ∗ ) and grey-level images. Then we generalize morphological operations to l -images such that the associated structuring elements can be arbitrary l -images. As consequences, we obtain several concrete expressions for dilations and erosions on grey-level images such that the associated structuring elements are also grey-level images. Therefore, the grey-level overflow problem is solved with no limitations on structuring elements. Furthermore, we show that the duality property of dilations and erosions on l -images holds if the underlying clc-monoid is self-dual. In den meisten Anwendungen werden morphologische Operationen als einzelne Operationen betrachtet, von denen jede mit strukturierenden Elementen verknüpft ist. In Verbindung mit dem Problem der Grauwert-Übersteuerung sind die morphologischen Operationen für Grauwertbilder (Funktionen von R n oder Z n bis [0, m ], wobei m eine feste positive Zahl ist) begrenzt auf ‘flache’ oder ‘nicht flache’ Strukturelemente. Jedoch sind weder flache noch nicht flache Strukturelemente Grauwertbilder. Wir schlagen in dieser Arbeit die Idee der l -Bilder vor, die auf einem clc-Monoid (‘complete lattice-ordered commutative monoid’) basieren, als eine einheitliche Darstellung binärer Bilder (Funktionen von R n oder Z n bis {0, 1}, Signale (Funktionen von R n oder Z n bis zur Menge der erweiterten reellen Zahlen R ∗ ) und Grauwerbilder. Dann verallgemeinern wir die morphologischen Operationen auf l -Bilder und zwar so, daβ die zugehörigen strukturierenden Elemente beliebige l -Bilder sein können. Dadurch erhalten wir einige konkrete Ausdrücke für die Dilationen und Erosionen von Grauwertbildern, so daβ die zugehörigen Strukturelemente auch Graubilder darstellen. Damit wird das Problem der Grauwert-Übersteuerung ohne Begrenzung der Strukturelemente gelöst. Weiterhin zeigen wir, daβ die Dualitäts-Eigenschaft von Dilation und Erosion für l -Bilder bestehen bleibt, wenn das zugrundeliegende clc-Monoid selbst dual ist. Lorsqu'elles sont appliquées à des images à niveaux de gris bornées (appelées dans la suite images discrètes), les opérations morphologiques sont habituellement définies à partir d'un élément structurant. Cependant, qu'ils soient plans ou non, les éléments structurants ne sont pas des images discrètes eux-mêmes. Dans ce papier, la notion de l -image est proposée pour unifier images binaires et numériques, discrètes ou non et éléments structurants. La structure sous-jacente est celle de monoïde clc, c'est-à-dire de monoïde commutatif ordonné sur un treillis complet. Les opérations morphologiques sont alors généralisées à ces monoïdes clc. Ceci permet alors d'obtenir différentes expressions concrètes pour dilatation et érosion, de telle sorte que ces opérations soient binaires, c'est-à-dire prennent deux images discrètes comme paramètres. Plus précisément, lorsque dilatation et érosion sont regardées comme des opérations unaires, les éléments structurants associés sont également des images discrètes. De plus, nous prouvons que la dualité entre dilation et érosion est valide sur des l -image si le monoïde clc sous-jacent est auto-dual.