$m$-noncrossing partitions and $m$-clusters

Abstract

Let $W$ be a finite crystallographic reflection group, with root system $\Phi$. Associated to $W$ there is a positive integer, the generalized Catalan number, which counts the clusters in the associated cluster algebra, the noncrossing partitions for $W$, and several other interesting sets. Bijections have been found between the clusters and the noncrossing partitions by Reading and Athanasiadis et al. There is a further generalization of the generalized Catalan number, sometimes called the Fuss-Catalan number for $W$, which we will denote $C_m(W)$. Here $m$ is a positive integer, and $C_1(W)$ is the usual generalized Catalan number. $C_m(W)$ counts the $m$-noncrossing partitions for $W$ and the $m$-clusters for $\Phi$. In this abstract, we will give an explicit description of a bijection between these two sets. The proof depends on a representation-theoretic reinterpretation of the problem, in terms of exceptional sequences of representations of quivers. Soit $W$ un groupe de réflexions fini et cristallographique, avec système de racines $\Phi$. Associé à $W$, il y a un entier positif, le nombre de Catalan généralisé, qui compte les amas dans l'algèbre amassée associée, les partitions non-croisées de $W$, et plusieurs autres ensembles intéressantes. Des bijections entre les amas et les partitions non-croisées ont été données par Reading et Athanasiadis et al. On peut encore généraliser le nombre de Catalan généralisé, obtenant le nombre Fuss-Catalan de $W$, que nous noterons $C_m(W)$. Ici $m$ est un entier positif, et $C_1(W)$ est le nombre Catalan généralisé standard. $C_m(W)$ compte les partitions $m$-non-croisées de $W$ et les $m$-amas de $\Phi$. Dans ce résumé, nous donnerons une bijection explicite entre ces deux ensembles. La démonstration dépend d'une réinterprétation des objets du point de vue des suites exceptionnelles de représentations de carquois.