Lower bounds for fluctuations in first-passage percolation for general distributions

Abstract

En percolation de premier passage (PPP), on attribue des poids i.i.d. aux aretes du reseau cubique $\mathbb{Z}^{d}$ et analyse la metrique de graphe induite. Si $T(x,y)$ denote la distance entre les sommets $x$ et $y$, une question fondamentale est de trouver l’ordre des fluctuations de $T(0,x)$. Il est escompte que la variance de $T(0,x)$ croit comme la norme, $\|x\|$, de $x$ a une puissance strictement inferieure a $1$, mais les meilleures bornes inferieures disponibles a ce jour (et seulement pour $d=2$) sont d’ordres logarithmiques. Ce resultat a ete demontre dans les annees 90 et il a connu peu d’amelioration depuis. Dans ce papier, nous abordons le probleme d’obtenir des bornes inferieures plus strictes, en montrant qu’avec tres grande probabilite, la distance $T(0,y)$ n’est pas contenue dans un interval de taille $o(\log \|x\|)^{1/2}$. Un resultat similaire est aussi valide en percolation de dernier passage (PDP) dans des cylindres minces. Ce type de resultats qui n’avait ete obtenu que pour des classes particulieres de poids est ici demontre en toute generalite. Les (nouvelles) methodes developpees ici consistent a induire une fluctuation du nombre d’aretes dans une boite dont les poids sont en “mode-haut.”