Local percolative properties of the vacant set of random interlacements with small intensity

Abstract

Un entrelac aleatoire au niveau $u$ est une famille a un parametre de sous-ensembles connexes aleatoires de $\mathbb{Z}^{d}$, $d\geq3$, introduit dans (Ann. Math. 171 (2010) 2039–2087). Son complementaire, l’ensemble vacant au niveau $u$, possede une transition de percolation non triviale en $u$, comme il a ete montre dans (Comm. Pure Appl. Math. 62 (2009) 831–858) et (Ann. Math. 171 (2010) 2039–2087). La composante connexe infinie, lorsqu’elle existe, est presque surement unique, voir (Ann. Appl. Probab. 19 (2009) 454–466). Dans ce papier, nous etudions les proprietes percolatives locales de l’ensemble vacant au niveau $u$ en toutes dimensions $d\geq3$ et pour un petit parametre d’intensite $u$. Nous donnons une borne exponentielle tendue sur la probabilite qu’un grand (hyper)cube contienne deux composantes macroscopiques distinctes de l’ensemble vacant au niveau $u$. Nos resultats impliquent qu’il est peu probable que les composantes connexes finies de l’ensemble vacant au niveau $u$ soient grandes. Ces resultats ont ete prouves dans (Probab. Theory Related Fields 150 (2011) 529–574) pour $d\geq5$. Notre approche est differente (de celle de (Probab. Theory Related Fields 150 (2011) 529–574)) et est valide pour $d\geq3$. L’un des ingredients principaux de la preuve est une certaine propriete d’independence conditionelle des entrelacs aleatoires, qui est interessante en elle-meme.