Limit theorems for one and two-dimensional random walks in random scenery

Abstract

Les promenades aléatoires en paysage aléatoire sont des processus définis par $Z_{n}:=\sum_{k=1}^{n}\xi_{X_{1}+\cdots+X_{k}}$, où $(X_{k},k\geq1)$ et $(\xi_{y},y\in\mathbb{Z}^{d})$ sont deux suites indépendantes de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans $\mathbb{Z}^{d}$ et $\mathbb{R}$ respectivement. Nous supposons que les lois de $X_{1}$ et $\xi_{0}$ appartiennent au domaine d’attraction normal de lois stables d’indice $\alpha\in(0,2]$ et $\beta\in(0,2]$. Quand $d=1$ et $\alpha\neq1$, un théorème limite fonctionnel a été prouvé dans (Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 50 (1979) 5–25) et un théorème limite local dans (Ann. Probab. To appear). Dans ce papier, nous prouvons la convergence en loi et un théorème limite local quand $\alpha=d$ (i.e. $\alpha=d=1$ ou $\alpha=d=2$) et $\beta\in(0,2]$. Mentionnons que des théorèmes limites fonctionnels ont été établis dans (Ann. Probab. 17 (1989) 108–115) et récemment dans (An asymptotic variance of the self-intersections of random walks. Preprint) dans le cas particulier où $\beta=2$ (respectivement pour $\alpha=d=2$ et $\alpha=d=1$).