Limit theorems for geometric functionals of Gibbs point processes

Abstract

On observe un processus ponctuel $\varXi$ dans $\mathbb{R}^{d}$ dans une fenêtre $Q_{\lambda}$ de volume ${\lambda}$. L’observation en un point $x$ que l’on note $\xi(x,\varXi)$ est une fonction des points situés à une distance aléatoire de $x$. Quand $\varXi$ est un processus de Poisson ponctuel ou Binomial, la limite pour ${\lambda}$ grand de la somme totale $\sum_{x\in\varXi\cap Q_{\lambda}}\xi(x,\varXi\cap Q_{\lambda})$ (convenablement recentrée et normalisée) est bien comprise. Dans ce papier, nous étudions cette somme totale quand $\varXi$ est Gibbsien et prouvons la loi des grands nombres, la variance asymptotique et un théorème de la limite centrale. Les preuves reposent sur la simulation parfaite de processus ponctuels Gibbsiens pour établir leurs propriétés de mélange. Ces résultats généraux sont appliqués dans différents contextes comme des modèles de croissance et de percolation, des graphes de Voronoi et des problèmes de quantification pour des entrées Gibbsiennes.