Limit theorems and inequalities via martingale methods

Abstract

In these notes, we first give a brief overwiew of martingales methods, from Paul Levy (1935) untill now, to explain why these methods have become a central tool in probability, statistics and ergodic theory. Next, we present some recent results for/or based on martingales: exponential bounds for super-martingales, concentration inequalities for Lipschitz functionals of dynamical systems, oracle inequalities for the Cox model in a high dimensional setting, and invariance principles for stationary sequences. Resume. Dans ces notes, nous faisons d'abord un rapide survol des methodes de martingales, depuis Paul Levy (1935) jusqu'a nos nos jours, afin d'expliquer pourquoi ces methodes sont devenues centrales en probabilite, statistique et theorie ergodique. Ensuite, nous presentons des resultats recents sur/ou fondes sur les martingales : des inegalites exponentielles pour les sur-martingales, des inegalites de concentration pour les fonctionnelles lipschitziennes de systemes dynamiques, des inegalites oracle pour le modele de Cox en grande dimension, et des principes d'invariances pour les suites stationnaires.