Limit laws for self-loops and multiple edges in the configuration model

Abstract

Nous considerons les boucles et les aretes multiples dans le modele de configuration lorsque la taille du graphe tend vers l’infini. L’interet de ces variables aleatoires est du au fait que le modele de configuration, conditionne a la simplicite, est un graphe aleatoire uniforme avec des degres prescrits. La simplicite correspond a l’absence des boucles et des aretes multiples. Nous montrons que le nombre des boucles et des aretes multiples converge en loi vers deux variables aleatoires independantes qui suivent des lois de Poisson lorsque le moment d’ordre 2 de la loi empirique des degres converge. Nous fournissons aussi des estimations des distances de variation totale entre les nombres des boucles et des aretes multiples et leurs limites, ainsi qu’entre la somme de ces nombres et la variable aleatoire, qui suit une loi de Poisson, vers laquelle converge cette somme. Cela revisite les œuvres precedentes de Bollobas comme de Janson, de Wormald, et d’autres. Les estimations d’erreur impliquent egalement une asymptotique precise pour le nombre de graphes simples avec des degres prescrits. Les estimations d’erreur decoulent d’une application de la methode de Stein–Chen pour la convergence vers une loi de Poisson, qui est une nouvelle methode pour ce probleme. L’independance asymptotique des boucles et des aretes multiples suit a partir d’une version Poisson du dispositif Cramer–Wold utilisant l’amincissement, qui est interessant en lui-meme. Lorsque la loi des degres a un moment d’ordre 2 infini, nos resultats generaux echouent. Nous pouvons, cependant, prouver un theoreme de la limite centrale pour le nombre des boucles, et pour les aretes multiples entre sommets avec degres beaucoup plus petits que la racine carree de la taille du graphe. Nos resultats et preuves peuvent facilement s’etendre aux modeles de configuration orientes et bipartis.