Limit distributions for multitype branching processes of $m$-ary search trees

Abstract

Soit $m\geq3$ un entier. Très populaire en informatique fondamentale, l’arbre $m$-aire de recherche est une chaîne de Markov à temps discret qui modélise de célèbres algorithmes de tri et de recherche de données. Ce processus aléatoire vérifie une transition de phase bien connue : lorsque $m\leq26$, le comportement asymptotique du processus est gaussien. En revanche, lorsque $m\geq27$, il n’est plus gaussien et fait apparaître la limite $W^{DT}$ d’une martingale à valeurs complexes. Dans cet article, on considère le processus de branchement multitype qui est le plongement en temps continu de l’arbre $m$-aire de recherche. Ce processus fait l’objet d’une transition de phase du même type. En particulier, lorsque $m\ge27$, son asymptotique s’exprime à l’aide de la limite $W$ d’une martingale complexe. Grâce à la propriété de branchement, la loi de $W$ est solution d’une équation en distribution du type $Z\stackrel{ \mathcal{L}}{=}\mathrm{e}^{-\lambda T}(Z^{(1)}+\cdots+Z^{(m)})$ où $\lambda$ est un nombre complexe particulier, les $Z^{(k)}$ sont des variables aléatoires complexes indépendantes dont la loi est celle de $Z$, $T$ est une variable aléatoire réelle positive indépendante des $Z^{(k)}$, et $\stackrel{ \mathcal{L}}{=}$ désigne l’égalité en distribution. On étudie cette équation en loi par des approches variées. L’existence et l’unicité de solutions sont prouvées par des méthodes de contraction. L’absolue continuité de $W$ et le fait que son support soit le plan complexe tout entier sont démontrés par analyse de Fourier. Enfin, on obtient l’existence de moments exponentiels en considérant $W$ comme la limite d’une cascade de Mandelbrot à valeurs complexes.