Abstract
We give a multivariate analog of the type B Eulerian polynomial introduced by Brenti. We prove that this multivariate polynomial is stable generalizing Brenti's result that every root of the type B Eulerian polynomial is real. Our proof combines a refinement of the descent statistic for signed permutations with the notion of real stability—a generalization of real-rootedness to polynomials in multiple variables. The key is that our refined multivariate Eulerian polynomials satisfy a recurrence given by a stability-preserving linear operator. Nous prèsentons un raffinement multivariè d'un polynôme eulèrien de type B dèfini par Brenti. En prouvant que ce polynôme est stable nous gènèralisons un rèsultat de Brenti selon laquel chaque racine du polynôme eulèrien de type B est rèelle. Notre preuve combine un raffinement de la statistique des descentes pour les permutations signèes avec la stabilitè—une gènèralisation de la propriètè d'avoir uniquement des racines rèelles aux polynômes en plusieurs variables. La connexion est que nos polynômes eulèriens raffinès satisfont une rècurrence donnèe par un opèrateur linèaire qui prèserve la stabilitè.
Highlights
Le polynôme eulérien de type A, désigné par An(x), peut être interprété de façon combinatoire comme la fonction génératrice de descentes de permutations dans le groupe de Coxeter An, ou le groupe Sym(n+ 1) de permutations en n + 1 lettres ([Foata et Schützenberger(1970), Foata(2010)])
Nous utilisons une méthode générale pour montrer que les relations de récurrence satisfaites par ces polynômes W -eulériens multivariés préservent la stabilité
Nous écrivons |T | pour la cardinalité de soit xT = l’ensemble i∈T xi ; par exemple, (x + y)[n]
Summary
Le polynôme eulérien de type A, désigné par An(x), peut être interprété de façon combinatoire comme la fonction génératrice de descentes de permutations dans le groupe de Coxeter An, ou le groupe Sym(n+ 1) de permutations en n + 1 lettres ([Foata et Schützenberger(1970), Foata(2010)]). Ils ont été prouvé que An(x) et Cn(x) avaient uniquement des racines réelles, les cas exceptionnels ont été vérifié par ordinateur, mais la conjecture pour les polynômes eulériens affines de types B et D reste un problème ouvert. Nous utilisons le concept de stabilité réelle—une généralisation de la propriété d’avoir uniquement des racines réelles aux polynômes multivariés. Nous utilisons une méthode générale pour montrer que les relations de récurrence satisfaites par ces polynômes W -eulériens multivariés (pour certaines groupes de Coxeter finis W ) préservent la stabilité. Nous utilisons ensuite les propriétés de stabilité pour montrer que cela implique que les homologues univariés de ces polynômes sont également stables, ce qui est équivalent à dire qu’ils ont uniquement des racines réelles. Il est possible de étendre les résultats au groupe symétrique généralisée (les permutations colorées), et aussi à plusieurs variables q, et les polynômes eulériens affines de types A et C (voir Section 5 et [Visontai et Williams(2012)])
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