Least-squares filtering and smoothing for linear distributed parameter systems

Abstract

The problem of estimating the state of a class of linear distributed parameter systems from noisy measurements is considered from the viewpoint of weighted least-squares estimation over the spatial domain of the system and the time interval of the measurement data. The problem is reduced to a two-point boundary-value problem via the calculus of variations. The two-point boundary-value problem is then solved in closed form via the sweep method to obtain a Kalman-Bucy type filter. Solution of the smoothing problem then follows directly. Cases are considered where measurement data are obtained over the entire spatial domain of the system or at discrete points in this domain, and where the system is subject to internal and external disturbances as well as measurement errors. Some resulting problems for future study are discussed. L'article considère le problème d'évaluation de l'état d'une catégorie de systèmes linéaires à paramètres repartis à partir de mesures entâchées de bruit, du point de vue de l'estimation par la méthode des moindres carrés pondérés dans le domaine spatial du système et dans l'intervalle de temps des données de mesure. Le problème est reduit à une problème bi-ponctuel des valeurs-limites par l'intermédiare du calcul des variations. Le problème biponctuel des valeurs-limites est ensuite resolu par l'intermédiare de la méthode de balayage pour obtenir un filtre du type Kalman-Bucy. La solution du problème de lissage en decoule directement. L'article considère les cas lorsque les données de mesure sont obtenues sur l'ensemble du domaine spatial du système ou lorsqu'elles sont obtenues en des points discrets de ce domaine, le système étant soumis à des perturbations internes et externes, de même qu'à des erreurs de mesure. Il discute certains problèmes en résultant et àétudier ultérieurement. Das Problem der Schätzung des Zustandes einer Klasse von linearen Systemen mittverteilten Parametern aus verrauschten Messungen wird vom Gesichtspunkt der Schätzung mit einer Methode gewichteter kleinster Quadrate über dem räumlichen Gebiet des Systems und dem Zeitintervall der Meßdaten betrachtet. Das Problem wird unter Benutzung der Variationsrechnung auf ein Zweipunkt-Randwertproblem reduziert. Das Zweipunkt-Randwertproblem wird in geschlossener Form gelöst, um ein Kalman-Bucy-Filter zu erhalten. Die Lösung des Glättungsproblems folgt dann direkt. Betrachtet werden Fälle, wo die Meßdaten über das gesamte räumliche Gebiet oder in diskreten Punkten dieses Gebietes gewonnen werden und wo das System sowohl von inneren und äußeren Störungen als auch von Meßfehlern beeinflußt wird. Einige für zukünftige Studien resultierende Probleme werden diskutiert. Cтaтья paccмaтpивaeт пpoблeмy oцeнки cocтoяния oднoгo клacca линeйныч cиcтeм c pacпpeдeлcнными пapaмeтpaми иcчoдя из измepeний c шyмoм, c тoчки зpeния минимaльнoквaдpaтичecкoй oцeнки c вecoвыми кoэффициeнтaми, в пpocтpaнcтвe cиcтeмы и в интepвaлe вpeмeни дaнныч измepeния. здaчa cвoдитcя к двyчтoчeчнoй пpoблeмe пpeдeльныч знaчeний чepeз пocpeдcтвo вapиaциoннoгo иcчиcлeния. Двyчтoчeчнaя пpoблeмa пpeдeльныч знaчeний peшaeтcя зaтeм мeтoдoм пoиcкa для пoлyчeния фильтpa типa Кaльмaнa-Бюcи. Peшeниe зaдaчи cглaживaния нeпocpeдcтвeннo из этoгo вытeкaeт. Cтaтья paccмaтpивaeт cлyчaй кoгдa дaнныe измepeния пoлyчaютcя пo вceмy пpocтpaнcтвy cиcтeмы и кoгдa oни пoлyчaютcя в диcкpeтныч тoчкaч этoгo пpocтpaнcтвa, cиcтeмa бyдyчи пoдвepжeнa внyтpeнным и внeшним пoмeчaм a тaкжe и oшибкaм в измepeнии. Oнa oбcyждaeт нeкoтopыe вытeкaющиe из этoгo пpoблeмы пoдлeжaщиe изyчeнию в бyдyщeм.