Le retard en convergence des dérivées pour les calculs itératifs avec point fixe

Abstract

In an earlier study it was proven and experimentally confirmed on a 2D Euler code that fixed point iterations can be differentiated to yield first and second order derivatives of implicit functions that are defined by state equations. It was also asserted that the resulting approximations for reduced gradients and Hessians converge with the same R-factor as the underlying fixed point iteration. A closer look reveals now that nevertheless these derivative values lag behind the functions in that the ratios of the corresponding errors grow proportional to the iteration counter or its square towards infinity. This rather subtle effect is caused mathematically by the occurrence of nontrivial Jordan blocks associated with degenerated eigenvalues. We elaborate the theory and report its confirmation through numerical experiments Une étude antérieure a prouvé et vérifié expérimentalement sur un code Euler 2D que les calculs itératifs avec point fixe peuvent être différenciés pour obtenir les dérivées aux premier et deuxième ordres des fonctions implicites définies par des équations d'état. On considérait également que des itérées correspondantes des gradients et Hessiens réduits convergent à la même vitesse que l'itération de point fixe d'origine. Cette étude plus détaillée révèle néanmoins que ces dérivées convergent avec un certain retard par rapport aux valeurs de la fonction. En effet le rapport des erreurs correspondantes croît vers l'infini proportionnellement au compteur d'itérations ou à son carré. Mathématiquement, cet effet plutôt subtil est causé par l'apparition de blocs de Jordan correspondant à des valeurs propres dégénérées. Nous construisons un modèle théorique de cet effet et nous le validons par des expériences numériques.