Large scale behaviour of the spatial $\varLambda$-Fleming–Viot process

Abstract

On étudie le processus $\varLambda $-Fleming–Viot spatial (Electron. J. Probab. 15 (2010) 162–216) modélisant les fréquences locales de types génétiques dans une population évoluant dans $\mathbb{R}^{d}$. On considère le cas particulier où il n’y a que deux types possibles, notés $0$ et $1$. Initialement, tous les individus présents dans le demi-espace des points dont la première coordonnée est négative sont de type $1$, tandis que les individus présents dans le demi-espace complémentaire sont de type $0$. On s’intéresse au comportement des fréquences locales sur des échelles de temps et d’espace très grandes. On considère deux cas : dans le premier, l’évolution du processus est due uniquement à des événements ‘locaux’ ; dans le second, on incorpore des événements d’extinction et recolonisation de grande ampleur. On choisit la fréquence de ces événements de sorte qu’après une renormalisation spatiale et temporelle appropriée, la lignée ancestrale d’un individu de la population converge vers un processus $\alpha$-stable symétrique, d’indice $\alpha\in(1,2]$ (où $\alpha=2$ correspond au mouvement brownien). On étudie l’évolution du processus des fréquences alléliques aux mêmes échelles spatio-temporelles. Lorsque $\alpha=2$ et $d\geq2$, celui-ci converge vers un processus déterministe. Dans tous les autres cas, le processus limite est aléatoire et on l’identifie comme la fonction indicatrice d’un ensemble aléatoire évoluant au cours du temps. En particulier, les deux types ne coexistent pas à la limite. On caractérise chaque ensemble en termes d’un processus dual constitué de mouvements stables symétriques coalescents ayant un intérêt en eux-mêmes. La géométrie complexe des ensembles limites est illustrée par des simulations.