La solución se sistemas rectangulares de ecuaciones lineales utilizando ortogonalización y matrices de proyección

Abstract

EN ESTE ARTICULO SE PRESENTA UN NUEVO ENFOQUE PARA LA SOLUCION DE SISTEMAS RECTANGULARES DE ECUACIONES LINEALES. COMIENZA CON UN SISTEMA DE ECUACIONES HOMOGENEAS Y A TRAVES DE CONSIDERACIONES DE ESPACIOS LINEALES OBTIENE LA SOLUCION ENCONTRANDO EL ESPACIO NULO DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES. PARA LOGRARLO, SE ENCUENTRA UNA BASE ORTOGONAL PARA EL ESPACIO GENERADO POR LAS FILAS DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES Y SE COMPLETA LA BASE PARA TODO EL ESPACIO UTILIZANDO EL PROCESO DE GRAM SCHMIDT DE ORTOGONALIZACION. EL CASO NO HOMOGENEO SE MANEJA CONVIRTIENDO EL PROBLEMA EN UNO HOMOGENEO, PASANDO EL VECTOR DEL LADO DERECHO AL LADO IZQUIERDO, USANDO SUS COMPONENTES COMO COEFICIENTES DE UNA VARIABLE ADICIONAL Y RESOLVIENDO EL NUEVO SISTEMA E IMPONIENDO AL FINAL LA CONDICION QUE LA VARIABLE ADICIONAL ADOPTE UN VALOR UNITARIO. SE MUESTRA QUE EL ESPACIO NULO DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES ESTA INTIMAMENTE ASOCIADO CON LAS MATRICES DE PROYECCION ORTOGONAL, LAS CUALES SE CONSTRUYEN CON FACILIDAD A PARTIR DE LA BASE ORTOGONAL UTILIZANDO DIADAS. EL ARTICULO MANEJA EL METODO INTRODUCIDO COMO UN METODO EXACTO CUANDO LOS COEFICIENTES ORIGINALES SON RACIONALES, UTILIZANDO ARITMETICA RACIONAL. EL ANALISIS DE LA EFICIENCIA Y CARACTERISTICAS NUMERICAS DEL METODO SE POSPONE PARA UN FUTURO ARTICULO. SE PROPORCIONAN EJEMPLOS NUMERICOS ILUSTRATIVOS EN DETALLE Y SE ILUSTRA EL USO DEL PROGRAMA MATHEMATICA PARA HACER LOS CALCULOS EN ARITMETICA RACIONAL