KPZ and Airy limits of Hall–Littlewood random plane partitions

Abstract

Dans cet article, nous considerons une distribution de probabilite $\mathbb{P}^{q,t}_{\mathrm{HL}}$ sur les partitions planes, qui apparait comme une generalisation a un parametre de la mesure standard $q^{\mathrm{volume}}$. Cette generalisation est etroitement reliee aux classiques polynomes multivaries de Hall–Littlewood, et a ete introduite pour la premiere fois par Vuletic dans (Trans. Am. Math. Soc. 361 (2009) 2789–2804). Nous montrons que lorsque la partition plane devient grande ($q$ tend vers $1$, alors que le parametre de Hall–Littlewood $t$ est fixe), la partie inferieure proprement renormalisee de la partition plane converge vers une forme limite deterministe, et que les fluctuations a un point autour de la forme limite sont asymptotiquement donnees par la distribution du GUE Tracy–Widom. Par contre, si $t$ converge vers sa propre valeur critique $1$, les fluctuations convergent cette fois vers l’equation unidimensionnelle de Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) avec les conditions initiales a courte bande (narrow wedge data). La partie algebrique de notre argument est etroitement reliee au formalisme des processus de Macdonald (Probab. Theory Relat. Fields 158 (1) (2014) 225–400). La partie analytique consiste en une analyse asymptotique detaillee des determinants de Fredholm associes.