Isotropical Linear Spaces and Valuated Delta-Matroids

Abstract

The spinor variety is cut out by the quadratic Wick relations among the principal Pfaffians of an $n \times n$ skew-symmetric matrix. Its points correspond to $n$-dimensional isotropic subspaces of a $2n$-dimensional vector space. In this paper we tropicalize this picture, and we develop a combinatorial theory of tropical Wick vectors and tropical linear spaces that are tropically isotropic. We characterize tropical Wick vectors in terms of subdivisions of Delta-matroid polytopes, and we examine to what extent the Wick relations form a tropical basis. Our theory generalizes several results for tropical linear spaces and valuated matroids to the class of Coxeter matroids of type $D$. La variété spinorielle est decoupée par les relations quadratiques de Wick parmi les Pfaffiens principaux d'une matrice antisymétrique $n \times n$. Ses points correspondent aux sous-espaces isotropes à $n$ dimensions d'un espace vectoriel de dimension $2n$. Dans cet article nous tropicalisons cette description, et nous développons une théorie combinatoire de vecteurs tropicaux de Wick et d'espaces linéaires tropicaux qui sont tropicalement isotropes. Nous caractérisons des vecteurs tropicaux de Wick en termes de subdivisions des polytopes Delta-matroïde, et nous étudions dans quelle mesure les relations de Wick forment une base tropicale. Notre théorie généralise plusieurs résultats pour les espaces linéaires tropicaux et évaluait des matroïdes à la classe des matroïdes de Coxeter du type $D$.