Isoperimetry in supercritical bond percolation in dimensions three and higher

Abstract

Nous étudions les sous-graphes isopérimétriques du cluster infini $\mathbf{C}_{\infty}$ pour la percolation par arêtes surcritique sur $\mathbb{Z}^{d}$ avec $d\geq3$. Plus précisément, nous considérons les sous-graphes de $\mathbf{C}_{\infty}\cap[-n,n]^{d}$ qui ont une frontière ouverte minimale par rapport au volume. Nous prouvons un théorème de forme pour ces sous-graphes: convenablement normalisés, ils convergent presque surement vers une translation d’une forme limite déterministe. Cette forme déterministe est elle aussi un ensemble isopérimétrique pour une norme que nous définissons. Comme corollaire, nous obtenons une estimée précise sur une modification naturelle de la constante de Cheeger pour $\mathbf{C}_{\infty}\cap[-n,n]^{d}$, résolvant ainsi une conjecture de Benjamini pour cette version de la constante de Cheeger.