Inverting the cut-tree transform

Abstract

Nous considérons des fragmentations d’un $\mathbb{R}$-arbre $T$ dirigées par des coupures qui arrivent selon un processus de Poisson sur $T\times[0,\infty)$, où la première composante désigne le point auquel se produit la coupure et le deuxième, l’instant auquel elle a lieu. La généalogie d’une telle fragmentation est codée par l’arbre des coupes, qui a été introduit par Bertoin et Miermont (Ann. Appl. Probab. 23 (4) (2013) 1469–1493) pour une fragmentation de l’arbre brownien. L’arbre des coupes a ensuite été généralisé par Dieuleveut (Ann. Appl. Probab. 25 (4) (2015) 2215–2262) à une fragmentation des arbres $\alpha$-stables, pour $\alpha\in(1,2)$, et par Broutin et Wang (Bernoulli 23 (4A) (2017) 2380–2433) aux arbres continus inhomogènes d’Aldous et Pitman (Probab. Theory Related Fields 118 (4) (2000) 455–482). Dans les deux premiers cas, l’évolution de la suite des masses des sous-arbres apparaissant dans le processus de fragmentation constitue une famille importante de processus de fragmentation auto-similaires de Bertoin (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 38 (3) (2002) 319–340); dans le premier cas, une fois inversée dans le temps, la fragmentation devient un coalescent additif. Remarquablement, dans tous ces cas, la loi de l’arbre des coupes est la même que celle du $\mathbb{R}$-arbre initial. Dans cet article, nous développons un cadre général pour l’étude de l’arbre des coupes d’un $\mathbb{R}$-arbre. Par la suite, nous nous concentrons particulièrement sur le problème de la reconstruction : comment retrouver le $\mathbb{R}$-arbre initial à partir de son arbre des coupes. Ce problème a été étudié pour l’arbre brownien par Broutin et Wang (Electron. J. Probab. 22 (2017) 80), qui démontrent qu’il est possible de reconstruire l’arbre initial en loi. Nous décrivons un enrichissement de la construction de l’arbre des coupes, qui dote l’arbre des coupes d’une structure supplémentaire que nous appelons une collection cohérente de routages. Nous démontrons que ce procédé est bien défini sous des conditions minimales sur le $\mathbb{R}$-arbre. Ensuite, nous démontrons que pour l’arbre brownien ainsi que pour l’arbre $\alpha$-stable avec $\alpha\in(1,2)$, l’arbre initial muni de son processus de Poisson de coupures peut être reconstruit presque sûrement à partir de l’arbre des coupes enrichi. Pour ces derniers résultats, nous utilisons de façon essentielle l’auto-similarité et l’invariance par réenracinement de ces $\mathbb{R}$-arbres aléatoires.