Integrated solutions of non-densely defined semilinear integro-differential inclusions: existence, topology and applications

Abstract

Пусть заданы линейный замкнутый, но не обязательно плотно определенный оператор $A$ в банаховом пространстве $E$ с непустым резольвентным множеством и многозначное отображение $F\colon I\times E\multimap E$ со слабо секвенциально замкнутым графиком. Рассматривается интегро-дифференциальное включение $$ \dot{u}\in Au+F(t,\int u) \quadна I, \qquad u(0)=x_0. $$ Основное внимание уделяется случаю, когда $A$ порождает интегрированную полугруппу: доказывается существование так называемых интегрированных решений, если пространство $E$ слабо компактно порождено и $F$ удовлетворяет условию $$ \beta(F(t,\Omega))\le \eta(t)\beta(\Omega) \quadдля всех ограниченных множеств \Omega\subset E, $$ где $\eta\in L^1(I)$, а $\beta$ обозначает меру некомпактности Де Блази. В случае, когда $E$ сепарабельно, показано, что множество всех интегрированных решений является компактным $R_\delta$-подмножеством пространства $C(I,E)$ со слабой топологией. Этот результат используется для исследования нелокальной задачи Коши, задаваемой с помощью граничного оператора с невыпуклыми значениями. Приводятся также некоторые приложения к уравнениям в частных производных с многозначными членами. Библиография: 26 названий.