Integrals of Bessel processes and multi-dimensional Ornstein-Uhlenbeck processes: exact asymptotics for $L^p$-functionals

Abstract

Для $p>0$, $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$ доказаны результаты о точных асимптотиках при $T \to \infty$ средних $\mathbf{E}_a \exp (-\int_0^T \xi_q^p(t) dt )$, $\mathbf{E}_a [ \exp (-\int_0^T \xi_q^p(t) dt ) | \xi_q(T)=b ]$, где $\xi_q(t)$, $t \geqslant 0$, - бесселевский процесс порядка $q \geqslant-1/2$. Найдены также точные асимптотики при $\varepsilon \to 0$ вероятностей $\mathbf{P} \{ \int_0^1 \sum_{k=1}^n |Y_k(t)|^p dt \leqslant\varepsilon^p \}$, $\mathbf{P} \{ \int_0^1 [ \sum_{k=1}^n Y_k^2(t) ]^{p/2} dt \leqslant\varepsilon^p \}$, где $\mathbf{Y}(t)=(Y_1(t),…, Y_n(t))$, $t \geqslant 0$, - $n$-мерный нестационарный процесс Орнштейна-Уленбека с параметром $\gamma=(\gamma_1, …, \gamma_n)$, выходящий из нуля. Получен также ряд иных результатов. Численные значения для асимптотик приведены в случаях $p=1$, $p=2$. Библиография: 48 наименований.