Information bounds for inverse problems with application to deconvolution and Lévy models

Abstract

Si une fonctionnelle dans un problème inverse non-paramétrique peut être estimée à vitesse paramétrique, alors la vitesse minimax ne donne aucune information sur le caractère mal posé du problème. Pour avoir une borne inférieure plus précise, nous étudions l’efficacité semi-paramétrique dans le sens de Hájek–Le Cam pour l’estimation fonctionnelle dans des modèles indirects réguliers. Ces derniers sont caractérisés comme modèles que l’on peut approcher localement par un modèle linéaire de bruit blanc décrit par l’opérateur de score généralisé. Un théorème de convolution pour des modèles indirects réguliers est prouvé. Ceci s’applique à une large classe de problèmes statistiques inverses, comme montré pour les modèles prototypes du bruit blanc et de la déconvolution. Il est spécialement utile pour des modèles non-linéaires. Nous discutons en détails un modèle non-linéaire de déconvolution où un processus de Lévy est observé à basse fréquence, en obtenant une borne d’information pour l’estimation de fonctionnelles linéaires de la mesure de sauts.