Infinite divisibility of solutions to some self-similar integro-differential equations and exponential functionals of Lévy processes

Abstract

Nous commençons par caractériser les fonctions propres croissantes, au sens strict, de la famille d’opérateurs intégro-différentiels (0.1), pour tout α>0, γ≥0, f une function définie sur $\mathfrak{R}^{+}$ et suffissament régulière, et où les coefficients $b\in\mathfrak{R}$, σ≥0 et la mesure ν, qui satisfait la condition d’intégrabilité ∫0∞(1∧r2)ν(dr)<+∞, sont données, de manière unique, par la distribution d’une variable aléatoire infiniment divisible et spectralement négative dont on écrit ψ son exposant caractéristique. L(γ) est le générateur infinitésimal d’un processus positif Fellerien α-auto-similaire, introduit par Lamperti [Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 22 (1972) 205–225]. Les fonctions propres sont définies en terme d’une nouvelle famille de séries entières qui contient, par exemple, les fonctions de Bessel modifiées du premier ordre et des généralisations des fonctions de Mittag-Leffler. Nous continuons par montrer que des combinaisons particulières de ces séries entières correspondent à des transformées de Laplace de variables aléatoires positives auto-décomposables ou infiniment divisibles, par rapport à la valeur propre associée mais aussi par rapport au paramètre ψ(γ), ce qui est plus surprenant. En particulier, ceci généralise un résultat de Hartman [Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. IV-III (1976) 267–287] sur les fonctions de Bessel modifiées. Finalement, nous calculons, dans certains cas, les fonctions propres décroissantes, ce qui nous permet de caractériser la loi, par le biais de sa transformée de Laplace, de la fonctionnelle exponentielle de certains processus de Lévy spectralement négatifs ayant un premier moment négatif.