In a shadow of the RH: Cyclic vectors of Hardy spaces on the Hilbert multidisc

Abstract

Il s’agit du problème de la complétude d’un système de dilatations (ϕ(nx)) n≥1 dans l’espace de Lebesgue L 2 (0,1) où ϕ est une fonction impaire 2-périodique. Sans utiliser les séries de Dirichlet, on montre que le problème est équivalent à une question ouverte sur les vecteurs cycliques dans l’espace de Hardy H 2 (𝔻 2 ∞ ) du multidisque 𝔻 2 ∞ de Hilbert. Quelques conditions suffisantes de cyclicité sont établies, ce qui néanmoins inclut pratiquement tous les résultats précédents du sujet (ceux de Wintner ; Kozlov ; Neuwirth, Ginsberg, and Newman ; Hedenmalm, Lindquist, and Seip). Par exemple, chacune des conditions suivantes entraîne la cyclicité d’une fonction f dans H 2 (𝔻 2 ∞ ) : 1) f 1+ϵ ∈H 2 (𝔻 2 ∞ ), f -ϵ ∈H 2 (𝔻 2 ∞ ) ; 2) Re(f(z))≥0, z∈𝔻 2 ∞ ; 3) f∈Hol((1+ϵ)𝔻 2 ∞ ) et f(z)≠0 sur 𝔻 2 ∞ . L’Hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction ζ d’Euler est équivalente à un problème semblable de la complétude des dilatations (B.Nyman).