Identités et estimations concernant le plus petit commun multiple de suites à forte divisibilité

Sid Ali Bousla,Bakir Farhi

doi:10.5802/crmath.64

Abstract

In this note, we first prove that for any strong divisibility sequence a=a n n≥1 , we have the identity: lcmn 0 a ,n 1 a ,⋯,n n a =lcma 1 ,⋯,a n ,a n+1 a n+1 ∀n∈ℕ, generalizing the identity of Farhi (obtained in 2009 for a n =n). Then, we derive from it other interesting identities. Finally, we apply those identities to estimate the least common multiple of the consecutive terms of some Lucas sequences. Denoting by F n n the usual Fibonacci sequence, we prove for example that for every positive integer n, we have:

Highlights

Introduction et notationsTout au long de cette note, on désigne par x la partie entière d’un nombre réel x
We prove that if P and Q are coprime non-zero integers such that P 2 − 4Q > 0 and
En 1936, Ward [14] étudie les valuations padiques de ces suites et découvre la propriété selon laquelle les coefficients a-binomiaux sont tous des entiers pour une suite à forte divisibilité a

Summary

Introduction et notations

Tout au long de cette note, on désigne par x la partie entière d’un nombre réel x. K ∈ N, avec n ≥ k, on désigne par n k a le nombre rationnel strictement positif que ces nombres rationnels défini par : sont tous n ka des an an−1···an−k+1 a1 a2···ak entiers En prenant P et Q des entiers non nuls et premiers entre eux et en désignant par U (P,Q) leur suite de Lucas associée, c’est-à-dire la suite d’entiers définie récursivement par : U0 = 0, U1 = 1 et Un+2 = PUn+1 − QUn (∀ n ∈ N), on montre que la suite |U (P,Q)| est à forte divisibilité (voir par exemple [12]). En 1936, Ward [14] étudie les valuations padiques de ces suites et découvre la propriété selon laquelle les coefficients a-binomiaux sont tous des entiers pour une suite à forte divisibilité a. L’efficacité de nos estimations effectives est garantie par les estimations asymptotiques obtenues par Matiyasevich et Guy [10] et Kiss et Matyas [8] dans le même contexte

Résultats

Résultats connus antérieurement

Lemmes élémentaires

Preuves abrégées de nos résultats