Idempotent Analog of the Legendre Transformation and lts Application in Digital Processing of Signals

M.V Kurkina,V.V Slavsky,A.A Finogenov,A.A Petrov,O.V Samarina,V.A Samarin,O.A Petuhova,S.P Semenov

doi:10.14258/izvasu(2020)4-15

Abstract

In recent years, a new area of mathematics — idempotent or “tropical” mathematics — has been intensively developed within the framework of the Sofus Lee international center, which is reflected in the works of V.P. Maslov, G.L. Litvinov, and A.N. Sobolevsky. The Legendre transformation plays an important role in theoretical physics, classical and statistical mechanics, and thermodynamics. In mathematics and its applications, the Legendre transformation is based on the concept of duality of vector spaces and duality theory for convex functions and subsets of a vector space. The purpose of this paper is to go beyond linear vector spaces using similar notions of duality in conformally flat Riemannian geometry and in idempotent algebra.An abstract idempotent analog of the Legendre transformation is constructed in a way similar to the polar transformation of the conformally flat Riemannian metric introduced in the works of E.D. Rodionov and V.V. Slavsky. Its capabilities for digital processing of signals and images are being investigated

Highlights

Introduction to Mobius Differential GeometryLondon mathematical society lecture note series.
Преобразованием Юнга-Фенхеля функции f называют функцию f ∗, где Формула (1) есть обобщение классического преобразования Лежандра для достаточно гладких функций f и f ∗, в этом случае f и f ∗ связаны соотношением f ∗(ξ) = sup [(ξ, x) − f (x)] .
Нас в данной работе будут интересовать следующие свойства: 1* неравенство x · ξ ≤ f (x) + f ∗(ξ), которое является обобщением неравенства Юнга, 2* в случае выпуклых функций преобразование Лежандра инволютивно f ∗∗ = f , 3* в общем случае f ∗∗ ≤ f и f ∗∗ есть выпуклая оболочка функции f .

Summary

Introduction

Introduction to Mobius Differential GeometryLondon mathematical society lecture note series. Преобразованием Юнга-Фенхеля функции f называют функцию f ∗, где Формула (1) есть обобщение классического преобразования Лежандра для достаточно гладких функций f и f ∗, в этом случае f и f ∗ связаны соотношением f ∗(ξ) = sup [(ξ, x) − f (x)] . Нас в данной работе будут интересовать следующие свойства: 1* неравенство x · ξ ≤ f (x) + f ∗(ξ), которое является обобщением неравенства Юнга, 2* в случае выпуклых функций преобразование Лежандра инволютивно f ∗∗ = f , 3* в общем случае f ∗∗ ≤ f и f ∗∗ есть выпуклая оболочка функции f .

Results

Conclusion