Abstract

Регресiйний аналiз є iстотною частиною математичної та прикладної статистики. Нелiнiйний регресiйний аналiз є значним розширенням та ускладненням класичного лiнiйного регресiйного аналiзу, завдяки використанню нелiнiйних або частково нелiнiйних за параметрами моделей, якi адекватнiше описують, нiж лiнiйнi моделi, явища, що потребують статистичного аналiзу. Велика кiлькiсть прикладних проблем у численних наукових, технiчних та гуманiтарних галузях знань дають поштовх розвитку нелiнiйного регресiйного аналiзу. Задача оцiнювання векторного параметра сигналу в моделях спостереження «сигнал + шум» є добре вiдомою проблемою статистики випадкових процесiв, та у випадку нелiнiйного параметра сигналу – задачею нелiнiйного регресiйного аналiзу. Серед рiзноманiтностi задач нелiнiйного регресiйного аналiзу оцiнювання амплiтуд та кутових частот суми гармонiчних коливань, що спостерiгається на фонi випадкового шуму, займає значне мiсце, завдяки її численним застосуванням. Статистичнi моделi такого типу називаються тригонометричними моделями регресiї, а проблема статистичного оцiнювання її параметрiв називається задачею виявлення прихованих перiодичностей. Статтю присвячено вивченню тригонометричної моделi регресiї, в якiй випадковий шум є лiнiйним Левi-керованим стацiонарним четвертого порядку випадковим процесом iз нульовим середнiм, iнтегровную та iнтегровную з квадратом iмпульсною перехiдною функцiєю. Це припущення призводить до iнтегровностi коварiацiйної функцiї та кумулянтної функцiї 4-го порядку. Для оцiнювання амплiтуд та кутових частот такої тригонометричної моделi ми використовуємо оцiнки найменших квадратiв у сенсi Уолкера, тобто розглянуто спецiальну множину параметрiв, щоб розрiзнити належним чином рiзнi кутовi частоти в сумi гармонiчних коливань. У статтi доведено теорему про сильну консистентнiсть оцiнки найменших квадратiв за описаними вище припущеннями щодо випадкового шуму. Для отримання такого результату було доведено дуже важливу лему про рiвномiрну збiжнiсть майже напевно середнього значення перетворення Фурьє лiнiйного Левi-керованого випадкового процеса. Ця лема є головним iнструментом доведення теореми про сильну консистентнiсть. Для доведення теореми, по-перше, знаходимо деякi представлення оцiнок найменших квадратiв амплiтуд через вiдповiднi оцiнки кутових частот. По-друге, ми пiдставляємо цi формули у функцiонал методу найменших квадратiв. Останнiй крок доведення полягає у перетвореннi L2-норми рiзницi мiж емпiричною тригонометричною функцiєю регресiї та iстиною функцiєю регресiї таким чином, що ця норма прямує до нуля майже напевно тодi i тiльки тодi, коли оцiнки є сильно консистентними.

Highlights

  • Let a stochastic processX(t) = g(t, θ0) + ε(t), t ∈ [0, T ], (1)be observed, whereN g(t, θ0) = (A0kcosφ0kt + Bk0sinφ0kt), (2) k=1θ0 = (θ10, θ20, θ0, . . . , θ30N−2, θ30N−1, θ30N ) = (A01, B10, φ01, . . . , A0N, BN0, φ0N ), (3)(A0K)2 + (BK0 )2 > 0, k = 1, N ; here ε(t), t ∈ R1, is a stochastic process defined on a complete probability space (Ω, F, P ) and satisfying the condition introduced below.The statistical estimation of unknown amplitudes and angular frequencies (3) of a sum of harmonic oscillations (2) observed in a random noise ε(t) is a probabilistic setting of the hidden periodicities detection problem

  • Among the variety of nonlinear regression analysis problems the problem of estimating amplitudes and angular frequencies of the sum of harmonic oscillations that are observed against the background of a random noise, takes significant place due to its numerous applications

  • Theorem on strong consistency of the least squares estimators is proved in the paper under the assumption on the random noise described above

Read more

Summary

PRESENCE OF LINEAR RANDOM NOISE

This contribution is dedicated to the 80th anniversary of Professor Yuriy Vasyliovych Kozachenko. Among the variety of nonlinear regression analysis problems the problem of estimating amplitudes and angular frequencies of the sum of harmonic oscillations that are observed against the background of a random noise, takes significant place due to its numerous applications Statistical model of such a type is said to be trigonometric regression, and the problem of statistical estimation is called the problem of detecting hidden periodicities. Theorem on strong consistency of the least squares estimators is proved in the paper under the assumption on the random noise described above To obtain such a result a very important lemma was proved on the uniform tending to zero almost surely of the average value of Lévy-driven linear stochastic process Fourier transform.

Let a stochastic process
From the inequalities
We show that
Conclusions
Список використаної лiтератури
Full Text
Published version (Free)

Talk to us

Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have

Schedule a call