Huygens' principle and the modelling of propagation

Abstract

Huygens' principle (HP) is understood as a universal principle governing not only the propagation of light. According to Hadamard's rigorous definition, HP comprehends the principle of action-by-proximity (cf Faraday's field theory etc) and the superposition of secondary wavelets (Huygens' construction). Following Feynman and using appropriate field propagators (Green's functions) in the space - time domain and state space, respectively, HP is mathematically expressed through the Chapman - Kolmogorov equation, the equation of motion of Markov processes. This formulation leads to a unified formal representation of not only classical and Schrödinger (matter) waves as well as diffusive transport, but of virtually all propagation phenomena, which can be described through explicit differential and difference equations, respectively. It also overcomes certain problems of the physical interpretation of Kirchhoff's formula, leads to a relationship between the degrees of freedom of motion and the form of the equations of motion and simplifies the understanding of some features of the fractional Fourier transformation. Numerical algorithms which obey HP (in discrete form) provide a unified tool for the computation of propagation, transport, and other evolution processes; they are free of the known difficulties when applying Kirchhoff's formula to practical wave problems. Therefore, shedding new light on the 300 years old, but nevertheless actual HP yields not only new theoretical insights and practically useful results, but also conclusions for the methodology of the physics of propagation. For the physical understanding of these results, only undergraduate mathematics is required. Zusammenfassung. Das Huygenssche Prinzip (HP) wird als ein universelles Prinzip aufgefaßt, das nicht nur die Lichtfortpflanzung regiert. Gemäß Hadamards strenger Definition umfaßt es das Nahewirkungsprinzip (vgl. Faradays Feldtheorie u.s.w.) und die Überlagerung sekundärer Wellenfronten (Huygenssche Konstruktion). Verwendet man mit Feynman geeignete Feldpropagatoren (Greensche Funktionen) im Raum-Zeit-Bereich bzw. im Zustandsraum, so kann man es mathematisch in die Form der Chapman - Kolmogorov-Gleichung bringen, die Bewegungsgleichung der Markov-Prozesse. Diese Formulierung führt zu einer einheitlichen formalen Behandlung nict nur klassischer und Schrödinger(Materie)-Wellen sowie diffusiver Ausbreitung, sondern scheinbar aller Vorgänge, die durch explizite Differential- oder/und Differnzengleichungen beschrieben werden können. Sie überwindet zudem gewisse Probleme der physikalischen Interpretation der Kirchhoffschen Formel, führt zu einer Beziehung zwischen Freiheitsgraden der Bewegung und Bewegungsgleichungen, und sie erleichtert das Verständnis einiger Eigenschaften der gebrochen-rationalen Fourier-Transformation. Numerische Algorithmen, die dem HP (in diskreter Form) genügen, stellen ein einheitliches Werkzeug zur Berechnung derartiger Vorgänge bereit; sie sind frei von den bekannten Schwierigkeiten bei der Anwendung der Kirchhoffschen Formel auf praktische Wellenprobleme. Mithin liefert die Betrachtung des 300 Jahre alten, doch nach wie vor aktuellen HP unter neuen Blickwinkeln sowohl weitergehende theoretische Einsichten und praktisch nützliche Ergebnisse, als auch Schlußfolgerungen für die Methodik der Physik der Ausbreitungsvorgänge. Für das physikalische Verständnis dieser Zusammenhänge ist das mathematische Grundwissen des Physikers ausreichend.