Abstract

Nous considerons des dynamiques de diffusions coherentes, laissant les fameuses mesures de Hua–Pickrell, dependant d’un parametre complexe $s$, invariantes. Celles-ci donnent lieu a des processus de Feller–Markov sur la frontiere infini-dimensionnelle $\Omega $ du «graphe de spectres», l’analogue continu du graphe de Gelfand–Tsetlin, par la methode des entrelacements de Borodin et Olshanski. Dans le cas particulier de $s=0$, ce processus stochastique est etroitement relie au processus ponctuel Sine2 sur R qui decrit l’interieur du spectre des grandes matrices aleatoires. De maniere equivalente, ces dynamiques coherentes sont associees a des diffusions entrelacees dans des modeles de Gelfand–Tsetlin ayant certaines mesures invariantes de Gibbs. De plus, par une application de la transformation de Cayley lorsque $s=0$, nous obtenons des processus sur le cercle laissant invariant l’ensemble circulaire unitaire multiniveaux. Nous prouvons enfin que les processus de Feller sur $\Omega $ correspondant au mouvement brownien de Dyson et a son analogue stationnaire sont donnes par des systemes dynamiques deterministes tres simples et explicites.

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