Hua–Pickrell diffusions and Feller processes on the boundary of the graph of spectra

Abstract

Nous considerons des dynamiques de diffusions coherentes, laissant les fameuses mesures de Hua–Pickrell, dependant d’un parametre complexe $s$, invariantes. Celles-ci donnent lieu a des processus de Feller–Markov sur la frontiere infini-dimensionnelle $\Omega $ du «graphe de spectres», l’analogue continu du graphe de Gelfand–Tsetlin, par la methode des entrelacements de Borodin et Olshanski. Dans le cas particulier de $s=0$, ce processus stochastique est etroitement relie au processus ponctuel Sine2 sur R qui decrit l’interieur du spectre des grandes matrices aleatoires. De maniere equivalente, ces dynamiques coherentes sont associees a des diffusions entrelacees dans des modeles de Gelfand–Tsetlin ayant certaines mesures invariantes de Gibbs. De plus, par une application de la transformation de Cayley lorsque $s=0$, nous obtenons des processus sur le cercle laissant invariant l’ensemble circulaire unitaire multiniveaux. Nous prouvons enfin que les processus de Feller sur $\Omega $ correspondant au mouvement brownien de Dyson et a son analogue stationnaire sont donnes par des systemes dynamiques deterministes tres simples et explicites.