Homogenization of the Fourth-Order Elliptic Operator with Periodic Coefficients with Correctors Taken into Account

Abstract

В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ изучается эллиптический дифференциальный оператор $A_\varepsilon$ четвертого порядка. Здесь $\varepsilon >0$ - малый параметр. Предполагается, что оператор задан в факторизованном виде $A_\varepsilon = b(\mathbf{D})^* g(\mathbf{x}/\varepsilon)b(\mathbf{D})$, где эрмитова матрица-функция $g(\mathbf{x})$ периодична относительно некоторой решетки, а $b(\mathbf{D})$ - матричный дифференциальный оператор второго порядка. Делаются предположения, обеспечивающие сильную эллиптичность оператора $A_\varepsilon$. Получена аппроксимация резольвенты $(A_\varepsilon + I)^{-1}$ по операторной норме в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ вида $$ (A_{\varepsilon}+I)^{-1}=(A^{0}+I)^{-1}+\varepsilon K_{1}+\varepsilon^{2} K_{2}(\varepsilon)+O(\varepsilon^{3}). $$ Здесь $A^0$ - эффективный оператор с постоянными коэффициентами, а $K_{1}$ и $K_{2}(\varepsilon)$ - некоторые корректоры.