Homogenization of elliptic and parabolic equations with periodic coefficients in a bounded domain under the Neumann condition

Abstract

Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ - ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный матричный эллиптический дифференциальный оператор $B_{N,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant1$, второго порядка при условии Неймана на границе. Старшая часть оператора задана в факторизованной форме. Оператор включает члены первого и нулевого порядков. Коэффициенты оператора $B_{N,\varepsilon}$ периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Изучается обобщенная резольвента $(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0(\cdot/\varepsilon))^{-1}$, где $Q_0$ - периодическая ограниченная и положительно определенная матрица-функция, а $\zeta$ - комплексный параметр. Получены аппроксимации обобщенной резольвенты по операторной норме в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и по норме операторов, действующих из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в класс Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, с двухпараметрическими (относительно $\varepsilon$ и $\zeta$) оценками погрешности. Результаты применяются к изучению поведения решений начально-краевой задачи с условием Неймана для параболического уравнения $Q_0(\x/\eps) \partial_t \u_\eps(\x,t) = -( B_{N,\varepsilon} \u_\eps)(\x,t)$ в цилиндре $O\times (0,T)$, где $0<T \le \infty$.