Abstract
Les variétés hyper-kählériennes de Debarre-Voisin sont construites à l’aide de 3-formes alternées sur un espace vectoriel complexe de dimension 10, que nous appelons des trivecteurs. Elles présentent de nombreuses analogies avec les variétés de Beauville-Donagi qui sont construites en partant d’une cubique de dimension 4. Nous étudions dans cet article différents trivecteurs dont la variété de Debarre-Voisin associée est dégénérée au sens où elle est soit réductible, soit de dimension excessive. Nous montrons que, sous une spécialisation d’un trivecteur général en de tels trivecteurs, les variétés de Debarre-Voisin correspondantes se spécialisent en des variétés hyper-kählériennes lisses, birationnellement isomorphes au schéma de Hilbert des paires de points sur une surface K3.
Highlights
Throughout this article, the notation Um, Vm, or Wm means an m-dimensional complex vector space
Becomes singular, the scheme Kσ becomes singular along a surface but birationally isomorphic to the Hilbert square of a K3 surface
Theorem 1.1. — The Heegner divisors D2, D6, D10, and D18 in F are HLS divisors. This statement puts together the more detailed conclusions of Theorems 1.2, 1.3, 1.4, and 1.5. These results are more precise: we identify these divisors D2, D6, D10, and D18 with the periods of Hilbert squares of K3 surfaces with a suitable polarization
Summary
Throughout this article, the notation Um, Vm, or Wm means an m-dimensional complex vector space. As explained in Theorem 3.1, Hilbert squares of general polarized K3 surfaces of fixed degree 2e appear as limits of Debarre-Voisin varieties for infinitely many values of e, and they form a hypersurface in MDV that maps onto the Heegner divisor D2e. Among these values, the only ones for which there exist explicit geometric descriptions (Mukai models for polarized K3 surfaces) are 1, 3, 5, 9, 11, and 15 ([Muk, Muk, Muk06]). — We list here the various special trivectors [σ0] ∈ P(Λ3V1∨0) that we consider, their (positive-dimensional) stabilizers for the SL(V10)action, and the corresponding limits of Debarre-Voisin varieties (which are all birationally isomorphic to Hilbert squares of K3 surfaces with suitable polarizations) along general 1-parameter degenerations to σ0. Such a vector bundle is expected to be unique; it is modular in the sense of [O’G19]
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