Hausdorff dimension of affine random covering sets in torus

Abstract

Nous calculons presque sûrement la dimension de Hausdorff de l’ensemble de recouvrement aléatoire $\limsup_{n\to\infty}(g_{n}+\xi_{n})$ dans le tore $\mathbb{T}^{d}$ de dimension $d$, où $g_{n}\subset\mathbb{T}^{d}$ sont des parallélépipèdes, ou plus généralement, des images linéaires d’un ensemble d’intérieur non vide et $\xi_{n}\in\mathbb{T}^{d}$ sont des points aléatoires indépendants et uniformément distribués. La formule de dimension, exprimée en fonction des valeurs singulières des applications linéaires, est valable à condition que la suite de ces valeurs singulières soit décroissante.