Harmonic Measure Is Absolutely Continuous with Respect to the Hausdorff Measure on All Low-Dimensional Uniformly Rectifiable Sets

Abstract

AbstractIt was recently shown that the harmonic measure is absolutely continuous with respect to the Hausdorff measure on a domain with an $n-1$ dimensional uniformly rectifiable boundary, in the presence of now well-understood additional topological constraints. The topological restrictions, while mild, are necessary, as the counterexamples of Bishop and Jones show, and no analogues of these results have been available for higher co-dimensional sets. In the present paper, we show that for any $d<n-1$ and for any domain with a $d$-dimensional uniformly rectifiable boundary the elliptic measure of an appropriate degenerate elliptic operator is absolutely continuous with respect to the Hausdorff measure of the boundary. There are no topological or dimensional restrictions contrary to the aforementioned results. Résumé en Français. On sait que la mesure harmonique associée à un domaine de ${\mathbb {R}}^n$ dont la frontière est uniformément rectifiable de dimension $n-1$ est absolument continue par rapport à la mesure de surface, sous des conditions topologiques récemment bien comprises. Ces conditions, bien que faibles, sont nécessaires, comme l’ont montré des contre exemples de C. Bishop and P. Jones. On ne disposait pas jusqu’ici de résultats analogues lorsque la frontière est de codimension plus grande. On démontre dans cet article que lorsque la frontière est uniformément rectifiable de dimension $d < n-1$, la mesure elliptique associée à des opérateurs elliptiques dégénérés appropriés est absolument continue par rapport à la mesure de Hausdorff, sans avoir besoin de condition topologique supplémentaire.