Abstract
In geometric modeling of contours, in most cases it is convenient to use the equations of curves written in a parametric form. In this case, when modeling flat contours of the first order of smoothness, can be used circular arcs. The article proposes a method for determining the parametric equation of a circle (arc of a circle) for two ways: defining a circle over three points, as well as defining a circle over two points and a tangent in one of them. The definition of the parametric equations of circles in both cases was carried out using a projective coordinate system. In the first case, the conditions for the membership of three given points of this curve were imposed on the classical parametric equation of a second-order curve in the projective coordinate system to determine the unknown coefficients of the equation, and the given points were taken as three basis points of the projective system. Passing the obtained second-order curve through cyclic points made it possible to determine all unknown coefficients of the equation and, thus, determine the desired parametric equation of the circle in the projective coordinate system.In the second case, for simplicity, a local system of affine coordinates was chosen in which two given points were located on the Ox axis symmetrically with respect to the Oy axis, and the point on the tangent was located on the Oy axis. These 3 points were taken as 3 basis points of the projective coordinate system, and the fourth point of the projective coordinate system — the unit point — was defined in the affine system as a point belonging to this circle. The classical equation of a second-order curve in a projective coordinate system that passes through 3 basis points of the projective system and touches the coordinate lines in two of them, provided that the unit point belongs to the circle, is the desired equation of circle.After determining both of the desired equations in the projective coordinate system, using the transfer formulas from the projective system to the affine, the desired parametric equations of the circles in the affine system are determined.
Highlights
В першому випадку на класичне параметричне рівняння кривої другого порядку в проективній системі координат для визначення невідомих коефіцієнтів рівняння накладалися умови належності трьох заданих точок цій кривій, причому задані точки приймалися за 3 базисні точки проективної системи
a local system of affine coordinates was chosen in which two given points were located on the
the point on the tangent was located on the Oy axis
Summary
Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського». В статті запропоновано спосіб визначення параметричного рівняння кола (дуги кола) для двох способів його завдання: завдання кола трьома точками, а також завдання кола двома точками і дотичною в одній з них. В першому випадку на класичне параметричне рівняння кривої другого порядку в проективній системі координат для визначення невідомих коефіцієнтів рівняння накладалися умови належності трьох заданих точок цій кривій, причому задані точки приймалися за 3 базисні точки проективної системи. Класичне рівняння кривої другого порядку в проективній системі координат, яка проходить через 3 базисні точки проективної системи і дотична в двох з них до координатних прямих при умові, що одинична точка належить колу, є рівнянням шуканого кола. Ключові слова – параметричне рівняння кола, заданого трьома точками; параметричне рівняння кола, заданого двома точками з дотичною в одній з них, циклічні точки площини, проективна система координат. Тоді рівняння прямої АВ, дотичної до шуканого кола, має вигляд у b а х b
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
